x = 0.999...
10x = 9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...
9x = 9
x = 1

И всё было бы хорошо, но
x = 0.999...
10x ≠ 9.999...
В действительности (мы ведь про действительные числа говорим) мы не смогли умножить 0.(9) на 10, мы будем бесконечно производить это действие.
"=" было бы в случае достижения конца умножения, но при бесконечности, конец не достижим. Конец достичь ни в коем случае нельзя, так как он не существует, его нет. Здесь нельзя поставить знак "=", это ошибка.

С остальными "доказательствами" аналогичные проблемы.