Зашёл в тупик, разбирая интересную задачу.
Рассмотрим отобращение f:Z->Z, такое, что f(xy)=f(x)f(y) (гомоморфизм, если рассматривать Z/{0} как группу относительно умножения). Для определения отображения введём понятие производящей функции последовательности простых чисел: H(a) = P(1)a/1! + P(2)a^2/2! +...+ P(n)*a^n/n! +..., где P(n) - n-е по счёту простое число. Из определения H(a) следует, что ь-япроизводная H в точке 0 равна m-у простому числу: H(0)^{m}=P(m).
Определим тогда f следующим образом: пусть x из Z однозначно разлагается в произведение P(1)^n_1 + P(2)^n_2 + ... + P(m)^n_m + ..., где n_i из множества N U {0}, тогда f(x)=f(P(1))^n_1 + f(P(2))^n_2 + ... + f(P(m))^n_m + ... А образ i-го простого числа определим как: f(P(i))=f(a)^{i} для некоторого действительного a, макрирующего отображение. Нетрудно показать, что f(P(i))=P(i)+P(i+1)a/1!+P(i+2)a^2/2!+...+P(i+m)a^m/m!+..., а также, что этот ряд сходится для любых чисел a и i.
Так как поле Q получается из Z путём добавления обратных (не путать с противоположными в случае сложения) элементов, а f(xy)=f(x)f(y), то положив f(x/y)=f(x)/f(y), где x,y из Z получим обобщение такого отображения. Графики для разных значения a в гифрелейтед.
Теперь, собственно, вопрос: можно ли расширить отображение на поле действительных чисел? Выражаясь точнее, правда ли что, если последовательность x_i над Q сходится к некоторому x' из Z, то верно ли, что последовательность f(x_i) тоже сходящаяся?