8 Кб, 229x220Как известно, в радикалах (т.е. корнях уравнений x^n - a = 0) в общем случае можно решить алгебраические уравнения не выше четвёртой степени.
А если к радикалам мы добавим «модифицированные радикалы», определяемые как корень уравнения x^n - b*x - a = 0, то до какой степени мы сможем добраться? Понятно, что до пятой сможем. А дальше сможем?
А если к радикалам мы добавим «модифицированные радикалы», определяемые как корень уравнения x^n - b*x - a = 0, то до какой степени мы сможем добраться? Понятно, что до пятой сможем. А дальше сможем?
>>5704
Спасибо.
Спасибо.
>>5686 (OP)
Если речь про $\mathbb{C}$, то $$\forall n\in\mathbb{N} \exists x: \ \ x^n+a=0, \ \ a\in\mathbb{a},$$ а если речь про какое-то другое поле или тело, то ситуация усложняется. И тогда надо смотреть каждый конкретный случай отдельно.
По поводу уравнения вида $$x^n+bx+a=0$$ можно сказать, что тут для $\mathbb{C}$ в радикалах выше третьей степени нельзя выразить решение. По крайней мере, я не знаю, как тут быть. Единственное, что я могу посоветовать, поискать на форумах или в статьях по такому вопросу. Думаю, кто-то мог найти какую-нибудь хитрую постановку(замену переменной), чтобы выразить в радикалах.
Если речь про $\mathbb{C}$, то $$\forall n\in\mathbb{N} \exists x: \ \ x^n+a=0, \ \ a\in\mathbb{a},$$ а если речь про какое-то другое поле или тело, то ситуация усложняется. И тогда надо смотреть каждый конкретный случай отдельно.
По поводу уравнения вида $$x^n+bx+a=0$$ можно сказать, что тут для $\mathbb{C}$ в радикалах выше третьей степени нельзя выразить решение. По крайней мере, я не знаю, как тут быть. Единственное, что я могу посоветовать, поискать на форумах или в статьях по такому вопросу. Думаю, кто-то мог найти какую-нибудь хитрую постановку(замену переменной), чтобы выразить в радикалах.
>>6937
Для поля характеристики 0, многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Какая группа Галуа у многочлена $x^n + bx + a$ над $\mathbb{C}(a,b)$?
> По крайней мере, я не знаю, как тут быть.
Для поля характеристики 0, многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Какая группа Галуа у многочлена $x^n + bx + a$ над $\mathbb{C}(a,b)$?
>>6940
Ехал Гаул из аул
Ехал Гаул из аул
>>6937
>>6940
Вопрос был не про разрешимость $x^n + bx + a$ в радикалах, а про разрешимость многочленов в «модифицированных радикалах», которые я определяю как корни $x^n + bx + a$.
То есть берём $\mathbb{Q}$, расширяем его корнями $x^n + bx + a$, где $a, b \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}$, и далее вопрос: до какой степени можно будет решить любой многочлен в таких «модифицированных радикалах»? Понятно, что можно решить все многочлены пятой степени (так как все они сводятся к форме Бринга—Джеррарда $x^5 \pm x + k$ при помощи преобразований Чирнгауза). А шестой степени?
ОП
>>6940
Вопрос был не про разрешимость $x^n + bx + a$ в радикалах, а про разрешимость многочленов в «модифицированных радикалах», которые я определяю как корни $x^n + bx + a$.
То есть берём $\mathbb{Q}$, расширяем его корнями $x^n + bx + a$, где $a, b \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}$, и далее вопрос: до какой степени можно будет решить любой многочлен в таких «модифицированных радикалах»? Понятно, что можно решить все многочлены пятой степени (так как все они сводятся к форме Бринга—Джеррарда $x^5 \pm x + k$ при помощи преобразований Чирнгауза). А шестой степени?
ОП
>>7883
Блин, почему при наборе формул TeX, окружённых долларами, они начинаются с новой строки? Как набирать, чтобы не начиналась новая строка?
Блин, почему при наборе формул TeX, окружённых долларами, они начинаются с новой строки? Как набирать, чтобы не начиналась новая строка?
>>5686 (OP)
https://mathoverflow.net/questions/61409/using-higher-order-bring-radicals-to-solve-arbitrary-polynomials?_gl=1psytji_gaNDU1MDQ2NTUzLjE3ODQ1ODI4OTg._ga_S812YQPLT2*czE3ODU2Mjk2NDUkbzQkZzEkdDE3ODU2MzAwOTckajQyJGwwJGgw
https://mathoverflow.net/questions/61409/using-higher-order-bring-radicals-to-solve-arbitrary-polynomials?_gl=1psytji_gaNDU1MDQ2NTUzLjE3ODQ1ODI4OTg._ga_S812YQPLT2*czE3ODU2Mjk2NDUkbzQkZzEkdDE3ODU2MzAwOTckajQyJGwwJGgw