59 Кб, 895x504Меня интересует вопрос. Есть аксиомы поля, которым удовлетворяет множество действительных чисел. А есть ли это самое множество и как оно построено? Что бралось из аксиом для его построения?
>>59491 (OP)
В самом начале любого университетского курса по мат. анализу строятся множества Q и R, открой и посмотри
/thread
В самом начале любого университетского курса по мат. анализу строятся множества Q и R, открой и посмотри
/thread
>>59492
Не пизди. Там как раз без построения начинают. Смотри лекции матмеха и любые учебники.
Не пизди. Там как раз без построения начинают. Смотри лекции матмеха и любые учебники.
>>59491 (OP)
Строится в теории множеств по аксиомам Цермело-Френкеля. Существование индуктивного множества постулируется аксиомой бесконечности, из неё выводится теорема индукции, с которой доказываются что множество натуральных чисел абелева полугруппа. Операция сложения и умножения определяются индуктивно.
Затем прямым произведением NxN строится множество целых чисел, индуцируемое классами эквивалентности. Множество N вложено в него изоморфно. Затем из ZxZ аналогично строятся рациональные. Ну а сами вещественные числа определяются как фундаментальные последовательности Коши, порождающие классы эквивалентности всех таких функций из N—>Q. Рациональные числа также вложены, как последовательность констант с сохранением структуры. Доказывается что R архимедово поле удовлетворяющее принципу верхней грани - и теперь элементы множества R рассматриваются как точки в топологии.
Из рациональных также приходят к действительным, строя дедекиндовы сечения, уже без классов эквивалентности. Также есть несколько других способов, но они менее распространены.
Строится в теории множеств по аксиомам Цермело-Френкеля. Существование индуктивного множества постулируется аксиомой бесконечности, из неё выводится теорема индукции, с которой доказываются что множество натуральных чисел абелева полугруппа. Операция сложения и умножения определяются индуктивно.
Затем прямым произведением NxN строится множество целых чисел, индуцируемое классами эквивалентности. Множество N вложено в него изоморфно. Затем из ZxZ аналогично строятся рациональные. Ну а сами вещественные числа определяются как фундаментальные последовательности Коши, порождающие классы эквивалентности всех таких функций из N—>Q. Рациональные числа также вложены, как последовательность констант с сохранением структуры. Доказывается что R архимедово поле удовлетворяющее принципу верхней грани - и теперь элементы множества R рассматриваются как точки в топологии.
Из рациональных также приходят к действительным, строя дедекиндовы сечения, уже без классов эквивалентности. Также есть несколько других способов, но они менее распространены.
>>60045
Нет, мы пользуемся аксиомой Пеано. Но это одно и то же.
Нет, мы пользуемся аксиомой Пеано. Но это одно и то же.
>>59494
Небольшое уточнение/дополнение. Определение индуктивного множества I звучит как
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Иногда думают, что индуктивное множество - это то же самое, что множество N. Но на самом деле индуктивными множествами являются все предельные ординалы старше w0. В частности, w+w и w+w+w.
Поэтому аксиома индукции ещё не постулирует существование N. Она говорит, что существует хотя бы один бесконечный предельный ординал. А существование N таки нужно выводить.
Небольшое уточнение/дополнение. Определение индуктивного множества I звучит как
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Иногда думают, что индуктивное множество - это то же самое, что множество N. Но на самом деле индуктивными множествами являются все предельные ординалы старше w0. В частности, w+w и w+w+w.
Поэтому аксиома индукции ещё не постулирует существование N. Она говорит, что существует хотя бы один бесконечный предельный ординал. А существование N таки нужно выводить.
136 Кб, 1280x720>>60182
Стоп, ты тот кто мне сегодня третью аксиому "вывел" в топологии? Ты еще и N выводишь?
Стоп, ты тот кто мне сегодня третью аксиому "вывел" в топологии? Ты еще и N выводишь?
>>60182
считать дальше N шизофрения
считать дальше N шизофрения
>>60182
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
>1. Пустое множество - элемент I
>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
>>60182
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
>1. Пустое множество - элемент I
>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
>>60360
Нет. N определяется как класс, являющийся пересечением всех множеств со свойствами 1 и 2. Этот класс является множеством, так как существует класс, элементом которого он является, - класс Ord.
Легко проверить, что свойствами 1 и 2 обладает w0+w0. Очевидно, не являющееся множеством N.
>Это есть определение N, довен.
Нет. N определяется как класс, являющийся пересечением всех множеств со свойствами 1 и 2. Этот класс является множеством, так как существует класс, элементом которого он является, - класс Ord.
Легко проверить, что свойствами 1 и 2 обладает w0+w0. Очевидно, не являющееся множеством N.
>>60363
Ты слепой? Это поредение ординала. Читай второй пост. Легко проверить... вот долбоеб. Это доказательства на страниц 10. Хотя может у тебя есть с кванторами своё.
Ты слепой? Это поредение ординала. Читай второй пост. Легко проверить... вот долбоеб. Это доказательства на страниц 10. Хотя может у тебя есть с кванторами своё.
>>60365
Ты уебан, отвечаю.
Ты уебан, отвечаю.