>>69055
Ну и мой каммент

11:19 35:49 и всё же, откуда там коэффициент ½? если это работа внешней силы, внешней, которая не меняется (про зависимость Роберта Хука я написал ниже, где существенно не путать F(u) и u(F); в этой проблеме же F=const, если не лезть в динамику “следящих” нагрузок, а также — пошучу и я что ли — в квазитрансверсальные сингулярно-ортотропные материалы-ауксетики с поликлинной ромбической сингонией и неравномерными полусферическими включениями), то никакой половины там нет, угол между силой и перемещением очевидно не 30°, а 0...

а вот если это работа внутренних сил, сиречь напряжений (которая до знака равна упругому потенциалу, который по теореме Clapeyron’а для статики линейных систем равен половине работы, половине [а не как там дальше 17:34 говорится дескать просто равен, и дополнительной энергии как бы не существует вовсе], ещё раз: половине работы внешних нагрузок), тогда да — напряжение растёт вместе с деформацией, в линейной модели равненько, и получается половинка

а точнее, именно упругого потенциала не существует, ведь дополнительная энергия — которая от сил (напряжений) — в этих лекциях почему-то называется потенциальной — которая от положений (координат, перемещений, деформаций); исключение вот тут 33:25, где потенциалом назван таки потенциал (и жаль, что так мало про “прямую” теорему, ведь и вездесущий наипопулярнейший метод конечных элементов, и метод Ritz’а вообще зиждятся именно на принципе минимума потенциальной энергии, а не на принципе минимума дополнительной, а “статическая определимость в дикой природе и реальной технике” почти не встречается)

итак,
полный дифференциал работы внешней силы W(F,u) = F•u это
dW = F•du + dF•u (“product rule”) и
dW = (∂W/∂u)•du + (∂W/∂F)•dF (определение полного дифференциала);
в потенциальную упругую энергию (она же упругий потенциал) Π(u), а именно в дифференциал dΠ(u), идёт слагаемое (∂W/∂u)•du = F•du = dΠ, а второе слагаемое (∂W/∂F)•dF = u•dF идёт в дифференциал дополнительной энергии dU(F),
в линейной модели потенциальная энергия Π и дополнительная энергия U численно равны друг дружке и равны по половинке от работы внешней силы, так что Π = U = ½W = ½F•u, однако для Π(u) F=F(u) и Π = ½F(u)•u, но для U(F) u=u(F) и U = ½F•u(F);
когда F = ηu (сила линейно зависит от перемещения), тогда
dΠ = ½η (du•u + u•du) = ηu•du = F•du,
но это для потенциала Π, для дополнительной энергии U же
u = κF (перемещение линейно меняется в зависимости от силы — “ceiiinosssttuv”, “Hooke’s law”), сила тут аргумент, а не результат

что же на самом деле написано в ролике? слева 12:40 это выходит W(F+dF) = U(F) + dU(F), то бишь написанный символ W это и есть дополнительная энергия U, а никакая не работа внешних сил, для последней было бы Wext = (F + dF)δ = 2U = 2Π;
вторая W 15:15 “заковыристее”, попробую раскусить и её:
δ dF = κF dF = ½κ( F dF + dF F ) = d(½ F κF) = dU(F),
½ Fδ = Π(δ) = U(F),
½ dF dδ = ½ dF κdF = ½κ dF² = 0,
в результате 16:20 U + dU = dU + U, что тривиально;
полный дифференциал работы внешней нагрузки с бесконечномалым приращением
dWext(F+dF, δ) = d( (F + dF)δ ) = δdF + δd²F + Fdδ + dF dδ = δdF + Fdδ = dU + dΠ