Хорошо, давайте решим уравнение по шагам.

Уравнение:

\[
x = \left( \frac{10x}{x+1} \right)^{\log_2 (2/3)}
\]

---

1. Обозначим показатель степени

\[
k = \log_2 \left( \frac{2}{3} \right)
\]

Заметим, что \( \frac{2}{3} = 2 \cdot 3^{-1} \), тогда:

\[
\log_2 \left( \frac{2}{3} \right) = \log_2 2 + \log_2 3^{-1} = 1 - \log_2 3
\]

Но нам это не слишком нужно, просто будем помнить, что \( k < 0 \), так как \( 2/3 < 1 \).

---

2. Прологарифмируем обе части

Можно взять логарифм по основанию 2 (или натуральный), но удобно возвести в степень \(1/k\) позже. Пока перепишем:

\[
x = A^k, \quad A = \frac{10x}{x+1}.
\]

То есть:

\[
x = \left( \frac{10x}{x+1} \right)^k.
\]

---

3. Учитываем ОДЗ

Основание степени \( \frac{10x}{x+1} > 0 \) (так как вещественная степень отрицательного числа может быть не определена в вещественных числах без дополнительных условий, и обычно в таких задачах подразумевается положительное основание).

Решаем неравенство \( \frac{10x}{x+1} > 0 \):

Числитель > 0 при \( x > 0 \), знаменатель > 0 при \( x > -1 \) ⇒ пересечение \( x > 0 \).

Числитель < 0 при \( x < 0 \), знаменатель < 0 при \( x < -1 \) ⇒ пересечение \( x < -1 \).

Итак, ОДЗ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) \).

---

4. Логарифмируем по основанию 2

\[
\log_2 x = k \cdot \log_2 \left( \frac{10x}{x+1} \right).
\]

Подставим \( k = \log_2 (2/3) \):

\[
\log_2 x = \log_2 \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \log_2 \left( \frac{10x}{x+1} \right).
\]

---

5. Введем замену

Пусть \( t = \log_2 x \), тогда \( x = 2^t \).

Также \( \frac{10x}{x+1} = \frac{10 \cdot 2^t}{2^t + 1} \).

Обозначим \( y = \log_2 \left( \frac{10 \cdot 2^t}{2^t + 1} \right) \).

Тогда уравнение:

\[
t = k \cdot y, \quad k = \log_2 (2/3).
\]

Но \( y = \log_2 10 + t - \log_2 (2^t + 1) \).

Итак:

\[
t = k \left[ \log_2 10 + t - \log_2 (2^t + 1) \right].
\]

---

6. Раскроем и перенесем

\[
t = k t + k \log_2 10 - k \log_2 (2^t + 1).
\]

\[
t - k t = k \log_2 10 - k \log_2 (2^t + 1).
\]

\[
t (1 - k) = k \left[ \log_2 10 - \log_2 (2^t + 1) \right].
\]

\[
t (1 - k) = k \log_2 \left( \frac{10}{2^t + 1} \right).
\]

---

7. Подставим \( k = 1 - \log_2 3 \)

\[
1 - k = 1 - (1 - \log_2 3) = \log_2 3.
\]

Тогда:

\[
t \cdot \log_2 3 = k \cdot \log_2 \left( \frac{10}{2^t + 1} \right).
\]

\[
\log_2 (3^t) = \log_2 \left( \frac{10}{2^t + 1} \right)^k.
\]

Так как \( k = \log_2 (2/3) \), то \( \left( \frac{10}{2^t + 1} \right)^k = 2^{\,k \log_2 \frac{10}{2^t + 1}} \) — не очень упрощается напрямую. Давайте лучше вернемся к исходному уравнению и попробуем угадать корень.

---

8. Проверим возможные «хорошие» \( x \)

Исходное уравнение:

\[
x = \left( \frac{10x}{x+1} \right)^{\log_2 (2/3)}.
\]

Возведем обе части в степень \( 1/k \):

\[
x^{1/k} = \frac{10x}{x+1}.
\]

Умножим на \( x+1 \):

\[
x^{1/k} (x+1) = 10x.
\]

Если \( x \neq 0 \):

\[
x^{1/k} (x+1) = 10x.
\]

\[
x^{1/k - 1} (x+1) = 10.
\]

---

9. Подставим \( k = \log_2 (2/3) \)

\[
\frac{1}{k} = \frac{1}{\log_2 (2/3)} = \log_{2/3} 2.
\]

Но \( \log_{2/3} 2 = \frac{1}{\log_2 (2/3)} \) — это тавтология. Вычислим численно приближенно:

\( k \approx \log_2 0.666... \approx -0.584962500721156 \).

Тогда \( 1/k \approx -1.709511291351455 \).

И \( 1/k - 1 \approx -2.709511291351455 \).

Уравнение:

\[
x^{-2.7095...} (x+1) = 10.
\]

---

10. Проверим \( x=2 \)

\( x^{1/k - 1} \approx 2^{-2.7095} \approx 1 / 2^{2.7095} \approx 1 / 6.579 \approx 0.152 \).

Умножим на \( x+1 = 3 \): \( 0.456 \), далеко от 10.

Проверим \( x=4 \):

\( 4^{-2.7095} = 2^{-5.419} \approx 1 / 42.3 \approx 0.02364 \).

Умножим на \( 5 \) → \( 0.118 \), мало.

Видно, что левая часть убывает с ростом \( x \) (так как степень отрицательная), и при \( x>0 \) LHS < 1, а RHS=10 ⇒ решений в \( x>0 \) нет? Проверим \( x \) маленькое:

\( x=0.1 \): \( 0.1^{-2.7095} \approx 10^{2.7095} \cdot 0.1^{-0.7095}? \) Лучше вычислим: \( 0.1^{-2.7095} = 10^{2.7095} \approx 512^{0.7095} \) — не буду усложнять, но численно: \( 0.1^{-2.7095} \approx 10^{2.7095} \approx 512.0 \) (примерно). Умножить на \( 1.1 \) → 563, что много больше 10.

Значит, есть корень между 0.1 и 2, где LHS=10.

---

11. Численное решение

Пусть \( f(x) = x^{1/k - 1}(x+1) - 10 \).

При \( x=0.5 \):

\( 1/k - 1 \approx -2.7095 \).

\( 0.5^{-2.7095} = 2^{2.7095} \approx 6.579 \).

Умножить на \( 1.5 \) → \( 9.8685 \), почти 10.

При \( x=0.49 \):

\( 0.49^{-2.7095} = e^{-2.7095 \ln 0.49} \), \(\ln 0.49 \approx -0.71335\), произведение \( \approx 1.932 \), экспонента \( e^{1.932} \approx 6.905 \), умножить на \( 1.49 \) → \( 10.288 \).

При \( x=0.495 \):

\(\ln 0.495 \approx -0.7031\), произведение \( \approx 1.904 \), \( e^{1.904} \approx 6.716 \), умножить на \( 1.495 \) → \( 10.041 \).

При \( x=0.498 \):

\(\ln 0.498 \approx -0.6973\), произведение \( \approx 1.888 \), \( e^{1.888} \approx 6.603 \), умножить на \( 1.498 \) → \( 9.891 \).

Корень около \( x \approx 0.496 \).

---

12. Проверим подстановкой в исходное

\( x \approx 0.496 \), \( \frac{10x}{x+1} \approx \frac{4.96}{1.496} \approx 3.3155 \).

\( k \approx -0.5849625 \).

Правая часть: \( 3.3155^{-0.5849625} \).

\(\ln 3.3155 \approx 1.1987\), умножить на \(-0.5849625\) → \(-0.70115\), экспонента: \( e^{-0.70115} \approx 0.496 \). Совпадает с \( x \).

---

13. Второе решение из ОДЗ \( x<-1 \)

Проверим \( x=-2 \):

Основание \( \frac{10(-2)}{-1} = 20 \) > 0, да, в ОДЗ.

Левая часть \( -2 \).

Правая часть: \( 20^k \approx 20^{-0.5849625} \).

\(\ln 20 \approx 2.9957\), умножить на \(-0.5849625\) → \(-1.752\), экспонента \( \approx 0.173 \), не равно \(-2\). Нет.

Проверим \( x=-5 \):

\( \frac{-50}{-4} = 12.5 \).

\( 12.5^k \): \(\ln 12.5 \approx 2.5257\), умножить на \(-0.5849625\) → \(-1.477\), экспонента \( \approx 0.228 \), не равно \(-5\).

Видно, для \( x<0 \) LHS отрицателен, RHS положителен ⇒ решений нет.

---

Ответ:

\[
\boxed{0.496}
\]

(Точнее \( x \approx 0.4956 \)).